NOT, !

NOT logico. Avalia como 1 se o operador é 0, como 0 se o operador é diferente de zero, e NOT NULL retorna NULL.

mysql> SELECT NOT 10;
        -> 0
mysql> SELECT NOT 0;
        -> 1
mysql> SELECT NOT NULL;
        -> NULL
mysql> SELECT ! (1+1);
        -> 0
mysql> SELECT ! 1+1;
        -> 1

O último exemplo produz 1 pois a a expressão é avaliada como (!1)+1.

AND, &&

AND lógico. Avalia como 1 se todos os operandos são diferentes de zero e não é NULL, como 0 se um ou mais operandos são 0, senão retorna NULL.

mysql> SELECT 1 && 1;
        -> 1
mysql> SELECT 1 && 0;
        -> 0
mysql> SELECT 1 && NULL;
        -> NULL
mysql> SELECT 0 && NULL;
        -> 0
mysql> SELECT NULL && 0;
        -> 0

Por favor note que as versões do MySQL anteriores a versão 4.0.5 param a avaliação quando um valor NULL é encontrado, e não continua o processo buscando por possíveis 0s. Isto significa que nessa versão, SELECT (NULL AND 0) retorna NULL ao invés de 0. Na versão 4.0.5 o código tem sido re-elaborado para que o resultado sempre seja como prescrito pelo padrão SQL utilizando a otimização sempre que possível.

OR, ||

OR lógico. Avalia como 1 se algum operando é diferente de zero e como NULL se algum operando for NULL, senão 0 é retornado.

mysql> SELECT 1 || 1;
        -> 1
mysql> SELECT 1 || 0;
        -> 1
mysql> SELECT 0 || 0;
        -> 0
mysql> SELECT 0 || NULL;
        -> NULL
mysql> SELECT 1 || NULL;
        -> 1

XOR

XOR lógico. Retorna NULL se o operando também é NULL. Para operandos não NULL, avalia como 1 se um número ímpar de operandos é diferente de zero, senão 0 é retornado.

mysql> SELECT 1 XOR 1;
        -> 0
mysql> SELECT 1 XOR 0;
        -> 1
mysql> SELECT 1 XOR NULL;
        -> NULL
mysql> SELECT 1 XOR 1 XOR 1;
        -> 1

a XOR b é matematicamente igual a (a AND (NOT b)) OR ((NOT a) and b).

XOR foi adicionado na versão 4.0.2.